Теоремы о монотонности дифференцируемой функции в точке и теорема Ферма об экстремумах

$f'(x_{0}) > 0 \implies f(x)$ - возрастает в точке $x_{0}$ $f'(x_{0}) < 0 \implies f(x)$ - убывает в точке $x_{0}$

Пусть $f'(x_{0}) > 0$, то есть: $$\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = f'(x_{0}) > 0$$ По лемме об отделимости от 0 получаем: $$\exists{O(x_{0})}\mathpunct{:}~~ \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} > 0 \implies \begin{cases} x-x_{0} > 0 \Rightarrow f(x) > f(x_{0}) \\ x-x_{0} < 0 \Rightarrow f(x) < f(x_{0}) \end{cases}$$ $f'(x_{0}) < 0$ рассматривается аналогично. $\square$

Если $f(x)$ - дифференцируема в $x_{0}$ и $x_{0}$ - точка локального экстремума, то $f'(x_{0}) = 0$ (такая точка $x_{0}$ называется стационарной/критической)

Пусть $f'(x_{0}) > 0 \implies f(x)$ - возрастает в $x_{0} \implies$ $x_{0}$ - не точка локального экстремума Пусть $f'(x_{0}) < 0 \implies f(x)$ - убывает в $x_{0} \implies$ $x_{0}$ - не точка локального экстремума Значит $f'(x_{0}) = 0 ~~~\square$